JEE MAIN

<div><div><li> <p>The elastic limit of brass is 379 MPa. What should be the minimum diameter of a brass rod if it is to support a 400 N load without exceeding its elastic limit?</p> </li></div></div>

<div><p>Given: Elastic limit of brass is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      σ 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      379 
    </mn> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mi>
      P 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \sigma = 379MPa 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>.</p><p> To find: Minimum diameter of brass rod, 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <msub> 
    <mi>
      d 
    </mi> 
    <mo>
      min 
    </mo> 
   </msub> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     d_{\min} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> for load, 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      F 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      400 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      N 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F = 400\text{\ }N 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>.</p><p>The stress in brass rod is given as</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      P 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mi>
       A 
     </mi> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     P = \frac{F}{A} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      P 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mrow> 
      <mi>
        π 
      </mi> 
      <mfrac> 
       <msup> 
        <mi>
          d 
        </mi> 
        <mn>
          2 
        </mn> 
       </msup> 
       <mn>
         4 
       </mn> 
      </mfrac> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     P = \frac{F}{\pi\frac{d^{2}}{4}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msup> 
     <mi>
       d 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mi>
       π 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mfrac> 
     <mn>
       4 
     </mn> 
     <mi>
       P 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mn>
        400 
      </mn> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mn>
        3.14 
      </mn> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mn>
        379 
      </mn> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <msup> 
       <mn>
         10 
       </mn> 
       <mn>
         6 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     d^{2} = \frac{F}{\pi}\frac{4}{P} = \frac{400 \times 4}{3.14 \times 379 \times 10^{6}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      d 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      1.16 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     d = 1.16\text{\ }mm 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>At 40 °C, a brass wire of 1 mm radius is hung from the ceiling. A small mass, M is hung from the free end of the wire. When the wire is cooled down from 40 °C to 20 °C it regains its original length of 0.2m. The value of M is close to (coefficient of linear expansion and Young's modulus of brass are 10<sup>-5</sup>/ °C and 10<sup>11</sup> N/m<sup>2</sup>, respectively; g = 10 m s<sup>-2</sup>)</p> </li></div></div>

<div><p>Given: Radius of brass wire is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      r 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      1 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     r = 1\text{\ }mm 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>the wire when cooled from 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mn>
        40 
      </mn> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
      <msup> 
       <mi></mi> 
       <mo>
         ∘ 
       </mo> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </msup> 
    <mi>
      C 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     {40\ }^{\ {^\circ}}C 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> to 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mn>
        20 
      </mn> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
      <msup> 
       <mi></mi> 
       <mo>
         ∘ 
       </mo> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </msup> 
    <mi>
      C 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     {20\ }^{\ {^\circ}}C 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> regains its original length of 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      0.2 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     l = 0.2\text{\ }m 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>Young's modulus for brass is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msup> 
     <mn>
       10 
     </mn> 
     <mn>
       11 
     </mn> 
    </msup> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      N 
    </mi> 
    <mi>
      / 
    </mi> 
    <msup> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     Y = 10^{11}\text{\ }N/m^{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>coefficient of linear expansion for brass is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msup> 
     <mn>
       10 
     </mn> 
     <mrow> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mn>
        5 
      </mn> 
     </mrow> 
    </msup> 
    <mi>
      / 
    </mi> 
    <msup> 
     <mspace width="0.222em"></mspace> 
     <mrow> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
      <msup> 
       <mi></mi> 
       <mo>
         ∘ 
       </mo> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </msup> 
    <mi>
      C 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha = 10^{- 5}/\ ^{\ {^\circ}}C 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p> 
 <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      10 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      / 
    </mi> 
    <msup> 
     <mi>
       s 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     g = 10\text{\ }m/s^{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>To find: value of 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     M 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     M 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>, a small mass hung from the wire</p><p>Extension due to stress by weight will be equal to contraction due to cooling.</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mfrac> 
      <mrow> 
       <mi>
         M 
       </mi> 
       <mi>
         g 
       </mi> 
      </mrow> 
      <mi>
        A 
      </mi> 
     </mfrac> 
     <mfrac> 
      <mrow> 
       <mi>
         Δ 
       </mi> 
       <mi>
         l 
       </mi> 
      </mrow> 
      <mi>
        l 
      </mi> 
     </mfrac> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     Y = \frac{\frac{Mg}{A}}{\frac{\Delta l}{l}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ⇒ 
    </mo> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        g 
      </mi> 
      <mi>
        l 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        A 
      </mi> 
      <mi>
        Y 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Rightarrow \Delta l = \frac{Mgl}{AY} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Also, 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Delta l = l\alpha\Delta T 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ⇒ 
    </mo> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        g 
      </mi> 
      <mi>
        l 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        A 
      </mi> 
      <mi>
        Y 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Rightarrow l\alpha\Delta T = \frac{Mgl}{AY} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ⇒ 
    </mo> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        α 
      </mi> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mi>
        A 
      </mi> 
      <mi>
        Y 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Rightarrow M = \frac{\alpha\Delta TAY}{g} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <msup> 
       <mn>
         10 
       </mn> 
       <mrow> 
        <mo>
          − 
        </mo> 
        <mn>
          5 
        </mn> 
       </mrow> 
      </msup> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <msup> 
       <mn>
         10 
       </mn> 
       <mn>
         11 
       </mn> 
      </msup> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mn>
        20 
      </mn> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mi>
        π 
      </mi> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <msup> 
       <mrow> 
        <mo stretchy="true" form="prefix">
          ( 
        </mo> 
        <msup> 
         <mn>
           10 
         </mn> 
         <mrow> 
          <mo>
            − 
          </mo> 
          <mn>
            3 
          </mn> 
         </mrow> 
        </msup> 
        <mo stretchy="true" form="postfix">
          ) 
        </mo> 
       </mrow> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
     <mn>
       10 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     = \frac{10^{- 5} \times 10^{11} \times 20 \times \pi \times \left( 10^{- 3} \right)^{2}}{10} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ∴ 
    </mo> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      2 
    </mn> 
    <mi>
      π 
    </mi> 
    <mi>
      k 
    </mi> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      6.28 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      k 
    </mi> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \therefore\ M = 2\pi kg = 6.28\text{\ }kg 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Value of 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     M 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     M 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> will be close to 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mn>
      9 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      k 
    </mi> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     9\text{\ }kg 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> as per given options</p></div>

<div><div><li> <p>Two steel wires having same length are suspended from a ceiling under the same load. If the ratio of their energy stored per unit volume is 1: 4, the ratio of their diameters is</p> </li></div></div>

<div><p>Given: Length of two steel wires is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       l 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msub> 
     <mi>
       l 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     l_{1} = l_{2} = l 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>load on both wires is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msub> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     m_{1} = m_{2} = m 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>ratio of energy stored per unit volume for the two wires is</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       E 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      : 
    </mo> 
    <msub> 
     <mi>
       E 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      1 
    </mn> 
    <mo>
      : 
    </mo> 
    <mn>
      4 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal">
       ……(i)&nbsp; 
     </mtext> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     E_{1}:E_{2} = 1:4\text{\ ……(i)~} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>To find: 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       d 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      : 
    </mo> 
    <msub> 
     <mi>
       d 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     d_{1}:d_{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>, the ratio of diameters of the two wires</p><p>Two wires made of same material are stretched by same load provided the initial lengths are same.</p><p>Energy stored per unit volume,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mi>
        U 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      t 
    </mi> 
    <mi>
      r 
    </mi> 
    <mi>
      e 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      t 
    </mi> 
    <mi>
      r 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
    <mi>
      i 
    </mi> 
    <mi>
      n 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <msup> 
       <mrow> 
        <mo stretchy="true" form="prefix">
          ( 
        </mo> 
        <mi>
          s 
        </mi> 
        <mi>
          t 
        </mi> 
        <mi>
          r 
        </mi> 
        <mi>
          e 
        </mi> 
        <mi>
          s 
        </mi> 
        <mi>
          s 
        </mi> 
        <mo stretchy="true" form="postfix">
          ) 
        </mo> 
       </mrow> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
      <mtext mathvariant="normal">
        &nbsp; 
      </mtext> 
     </mrow> 
     <mi>
       Y 
     </mi> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{dU}{dV} = \frac{1}{2} \times stress\ \times \ strain = \frac{1}{2} \times \frac{{(stress)}^{2}\text{~}}{Y} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mi>
        U 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mi>
       A 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mrow> 
      <mi>
        A 
      </mi> 
      <mi>
        Y 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mfrac> 
     <msup> 
      <mi>
        F 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msup> 
     <mrow> 
      <msup> 
       <mi>
         A 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
      <mi>
        Y 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{dU}{dV} = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{1}{2}\frac{F^{2}}{A^{2}Y} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ∴ 
    </mo> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mi>
        U 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      ∝ 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <msup> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
     </msup> 
    </mfrac> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       [ 
     </mo> 
     <mi>
       ∵ 
     </mi> 
     <mi>
       A 
     </mi> 
     <mo>
       ∝ 
     </mo> 
     <msup> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msup> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ] 
     </mo> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \therefore\ \frac{dU}{dV} \propto \frac{1}{d^{4}}\ \left\lbrack \because A \propto d^{2} \right\rbrack 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Now,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <msubsup> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
     </msubsup> 
     <msubsup> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
     </msubsup> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       4 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{d_{2}^{4}}{d_{1}^{4}} = \frac{1}{4} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ⇒ 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msub> 
     <msub> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
       <mn>
         4 
       </mn> 
      </mfrac> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mfrac> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
     </mfrac> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Rightarrow \frac{d_{2}}{d_{1}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{4}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ⇒ 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
     </msub> 
     <msub> 
      <mi>
        d 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <msqrt> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msqrt> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Rightarrow \frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{\sqrt{2}}{1} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>A boy's catapult is made of rubber cord which is 42 cm long, with 6 mm diameter of cross-section and of negligible mass. The boy keeps a stone weighing 0.02 kg on it and stretches the cord by 20 cm by applying a constant force. When released, the stone flies off with a velocity of 20 ms<sup>-1</sup>. Neglect the change in the area of cross-section of the cord while stretched. The Young's modulus of rubber is closest to</p> </li></div></div>

<div><p>Given: Length of the rubber cord of the catapult is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      L 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      42 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      c 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     L = 42\text{\ }cm 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>mass of cord is negligible,</p><p>diameter of cross section of cord is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      D 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      6 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      0.006 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     D = 6\text{\ }mm = 0.006\text{\ }m 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>mass of stone is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      0.02 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      k 
    </mi> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     m = 0.02\text{\ }kg 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>The boy pulls the catapult by a length 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      L 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      20 
    </mn> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     = \Delta L = 20 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      c 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     cm 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>the initial velocity of the stone when it leaves the catapult is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      v 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      20 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      / 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     v = 20\text{\ }m/s 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>.</p><p>To find: The Young's modulus of the rubber cord.</p><p>Potential energy stored by the stretched rubber cord:</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      P 
    </mi> 
    <mi>
      E 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <mrow> 
        <mi>
          Δ 
        </mi> 
        <mi>
          L 
        </mi> 
       </mrow> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
      </mfrac> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
    <mi>
      A 
    </mi> 
    <mi>
      L 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mfrac> 
     <msup> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <mi>
         Δ 
       </mi> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msup> 
     <mrow> 
      <mrow> 
       <mspace width="0.333em"></mspace> 
       <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
       <mspace width="0.333em"></mspace> 
      </mrow> 
      <mi>
        L 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mi>
      π 
    </mi> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <mi>
         D 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </mfrac> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     PE = \frac{1}{2}Y\left( \frac{\Delta L}{L} \right)^{2}AL = \frac{1}{2}Y\frac{(\Delta L)^{2}}{\text{\ }L}\pi\left( \frac{D}{2} \right)^{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>In equation (i), 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     A 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     A 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> is the area of cross section of the cord with diameter D. The potential energy stored in the stretched cord is given to the stone as kinetic energy.</p><p>Kinetic energy of stone</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      K 
    </mi> 
    <mi>
      E 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <msup> 
     <mi>
       v 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     KE = \frac{1}{2}mv^{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p> Applying energy conservation,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <msup> 
     <mi>
       v 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mtext mathvariant="normal">
        &nbsp;strain&nbsp; 
      </mtext> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mi>
      V 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{~strain~})^{2} \times V 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <msup> 
     <mi>
       v 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <mrow> 
        <mi>
          Δ 
        </mi> 
        <mi>
          l 
        </mi> 
       </mrow> 
       <mi>
         l 
       </mi> 
      </mfrac> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mi>
      V 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     mv^{2} = Y \times \left( \frac{\Delta l}{l} \right)^{2} \times V 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ⇒ 
    </mo> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
      <msup> 
       <mi>
         v 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <msup> 
       <mrow> 
        <mo stretchy="true" form="prefix">
          ( 
        </mo> 
        <mfrac> 
         <mrow> 
          <mi>
            Δ 
          </mi> 
          <mi>
            l 
          </mi> 
         </mrow> 
         <mi>
           l 
         </mi> 
        </mfrac> 
        <mo stretchy="true" form="postfix">
          ) 
        </mo> 
       </mrow> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Rightarrow Y = \frac{mv^{2}}{\left( \frac{\Delta l}{l} \right)^{2} \times V} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <mn>
         0.02 
       </mn> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
      <msup> 
       <mrow> 
        <mo stretchy="true" form="prefix">
          ( 
        </mo> 
        <mn>
          20 
        </mn> 
        <mo stretchy="true" form="postfix">
          ) 
        </mo> 
       </mrow> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <msup> 
       <mrow> 
        <mo stretchy="true" form="prefix">
          ( 
        </mo> 
        <mfrac> 
         <mn>
           20 
         </mn> 
         <mn>
           42 
         </mn> 
        </mfrac> 
        <mo stretchy="true" form="postfix">
          ) 
        </mo> 
       </mrow> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mi>
        π 
      </mi> 
      <msup> 
       <mrow> 
        <mo stretchy="true" form="prefix">
          ( 
        </mo> 
        <mn>
          3 
        </mn> 
        <mo>
          × 
        </mo> 
        <msup> 
         <mn>
           10 
         </mn> 
         <mrow> 
          <mo>
            − 
          </mo> 
          <mn>
            3 
          </mn> 
         </mrow> 
        </msup> 
        <mo stretchy="true" form="postfix">
          ) 
        </mo> 
       </mrow> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <mn>
         42 
       </mn> 
       <mo>
         × 
       </mo> 
       <msup> 
        <mn>
          10 
        </mn> 
        <mrow> 
         <mo>
           − 
         </mo> 
         <mn>
           2 
         </mn> 
        </mrow> 
       </msup> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     = \frac{(0.02)(20)^{2}}{\left( \frac{20}{42} \right)^{2} \times \pi\left( 3 \times 10^{- 3} \right)^{2}\left( 42 \times 10^{- 2} \right)} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ⇒ 
    </mo> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      2.97 
    </mn> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <msup> 
     <mn>
       10 
     </mn> 
     <mn>
       6 
     </mn> 
    </msup> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      N 
    </mi> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mrow> 
       <mspace width="0.333em"></mspace> 
       <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
       <mspace width="0.333em"></mspace> 
      </mrow> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </mrow> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Rightarrow \ Y = 2.97 \times 10^{6}\text{\ }N{\text{\ }m}^{- 2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p> A rod, of length L at room temperature and uniform area of cross-section A, is made of a metal having coefficient of linear expansion α/ °C. It is observed that an external compressive force F, is applied on each of its ends, prevents any change in the length of the rod, when its temperature rises by ∆T K. Young's modulus Y, for this metal is</p> </li></div></div>

<div><p>Given: Length of rod at room temperature is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     L 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     L 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>area of cross section of rod is A,</p><p>coefficient of linear expansion for rod is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mi>
      / 
    </mi> 
    <msup> 
     <mspace width="0.222em"></mspace> 
     <mrow> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
      <msup> 
       <mi></mi> 
       <mo>
         ∘ 
       </mo> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </msup> 
    <mi>
      C 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha/\ ^{\ {^\circ}}C 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>when the temperature of rod is increased by 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Delta T 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> and simultaneously it is also subjected to a net compressional force 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     F 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>, change in its length 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      0 
    </mn> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Delta l = 0 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>.</p><p>To find: Young's modulus for the rod.</p><p>As the temperature of rod rises,</p><p>Extension in the rod, 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      L 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      L 
    </mi> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Delta L = L\alpha\Delta T 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>Young's modulus of the rod,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        F 
      </mi> 
      <mi>
        / 
      </mi> 
      <mi>
        A 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        L 
      </mi> 
      <mi>
        / 
      </mi> 
      <mi>
        L 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        F 
      </mi> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mi>
        L 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        A 
      </mi> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        L 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mrow> 
      <mi>
        A 
      </mi> 
      <mi>
        α 
      </mi> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     Y = \frac{F \times L}{A\Delta L} = \frac{F}{A\alpha\Delta T} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>A cube of metal is subjected to a hydrostatic pressure of 4 GPa. The percentage change in the length of the side of the cube is close to (Given bulk modulus of metal, B = 8 × 10<sup>10</sup> Pa)</p> </li></div></div>

<div><p>Given: 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      P 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      4 
    </mn> 
    <mi>
      G 
    </mi> 
    <mi>
      P 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      4 
    </mn> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <msup> 
     <mn>
       10 
     </mn> 
     <mn>
       9 
     </mn> 
    </msup> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      P 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Delta P = 4GPa = 4 \times 10^{9}\text{\ }Pa 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      B 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      8 
    </mn> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <msup> 
     <mn>
       10 
     </mn> 
     <mn>
       10 
     </mn> 
    </msup> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      P 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     B = 8 \times 10^{10}\text{\ }Pa 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>To find: 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        l 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       l 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mn>
      100 
    </mn> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{\Delta l}{l} \times 100 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>, the percentage change in the length of the cube</p><p>According to bulk modulus formula,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      B 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        P 
      </mi> 
      <mi>
        . 
      </mi> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      , 
    </mo> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     B = \frac{\Delta P.V}{\Delta V}, 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       V 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        P 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       B 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <msup> 
       <mn>
         10 
       </mn> 
       <mn>
         9 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mn>
        8 
      </mn> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <msup> 
       <mn>
         10 
       </mn> 
       <mn>
         10 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       20 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mi>
      … 
    </mi> 
    <mi>
      … 
    </mi> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       i 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B} = \frac{4 \times 10^{9}}{8 \times 10^{10}} = \frac{1}{20}\ldots\ldots(i) 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Using Volume of a cube: 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      V 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msup> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     V = a^{3} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>Differentiating,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       V 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mn>
        3 
      </mn> 
      <msup> 
       <mi>
         a 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
     <mi>
       V 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      ⋅ 
    </mo> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mn>
        3 
      </mn> 
      <msup> 
       <mi>
         a 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
     <msup> 
      <mi>
        a 
      </mi> 
      <mn>
        3 
      </mn> 
     </msup> 
    </mfrac> 
    <mo>
      ⋅ 
    </mo> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{\Delta V}{V} = \frac{3a^{2}}{V} \cdot \Delta a = \frac{3a^{2}}{a^{3}} \cdot \Delta a 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        a 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mn>
      100 
    </mn> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        V 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       V 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mn>
      100 
    </mn> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{\Delta a}{a} \times 100 = \frac{1}{3}\frac{\Delta V}{V} \times 100 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       20 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mn>
      100 
    </mn> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      1.67 
    </mn> 
    <mi>
      % 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     = \frac{1}{3} \times \frac{1}{20} \times 100 = 1.67\% 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>A uniform cylindrical rod of length L and radius r, is made from a material whose Young's modulus of elasticity equals Y. When this rod is heated by temperature T and simultaneously subjected to a net longitudinal compressional force F, its length remains unchanged. The coefficient of volume expansion, of the material of the rod, is (nearly) equal to</p> </li></div></div>

<div><p>Given: Length of cylindrical rod is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     L 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     L 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>radius of cylindrical rod is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     r 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     r 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>Young's modulus of elasticity for the rod is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     Y 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     Y 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>when the rod is heated by temperature 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       Δ 
     </mi> 
     <mi>
       T 
     </mi> 
     <mo>
       = 
     </mo> 
     <mi>
       T 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     T(\Delta T = T) 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> and simultaneously subjected to a net longitudinal compressional force 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     F 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>, change in its length is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      0 
    </mn> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Delta l = 0 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>.</p><p>To find: Coefficient of volume expansion of the rod.</p><p>Since length remains same</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ∴ 
    </mo> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <msub> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mtext mathvariant="normal">
        &nbsp;Stress&nbsp; 
      </mtext> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mtext mathvariant="normal">
       Compressive&nbsp; 
     </mtext> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msub> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mtext mathvariant="normal">
        &nbsp;Stress&nbsp; 
      </mtext> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mtext mathvariant="normal">
       Thermal&nbsp; 
     </mtext> 
    </msub> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \therefore\ (\text{~Stress~})_{\text{Compressive~}} = (\text{~Stress~})_{\text{Thermal~}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mi>
       A 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{F}{A} = Y\alpha T 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ⇒ 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mrow> 
      <mi>
        π 
      </mi> 
      <msup> 
       <mi>
         r 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      Y 
    </mi> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Rightarrow \frac{F}{\pi r^{2}} = Y\alpha T 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>(where 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha = 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> coefficient of linear expansion)</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ∴ 
    </mo> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mrow> 
      <mi>
        π 
      </mi> 
      <msup> 
       <mi>
         r 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
      <mi>
        Y 
      </mi> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \therefore\ \alpha = \frac{F}{\pi r^{2}YT} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     ∵ 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \because 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> Coefficient of volume expansion,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      γ 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      3 
    </mn> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \gamma = 3\alpha 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ∴ 
    </mo> 
    <mi>
      γ 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mn>
        3 
      </mn> 
      <mi>
        F 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        π 
      </mi> 
      <msup> 
       <mi>
         r 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
      <mi>
        Y 
      </mi> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \therefore\gamma = \frac{3F}{\pi r^{2}YT} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>A thermometer graduated according to a linear scale reads a value x<sub>0</sub> when in contact with boiling water, and x<sub>0</sub>/3 when in contact with ice. What is the temperature of an object in °C, if this thermometer in the contact with the object reads x<sub>0</sub>/2?</p> </li></div></div>

<div><p>Given: Reading of thermometer at 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msup> 
     <mn>
       100 
     </mn> 
     <mrow> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
      <msup> 
       <mi></mi> 
       <mo>
         ∘ 
       </mo> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </msup> 
    <mi>
      C 
    </mi> 
    <mo>
      : 
    </mo> 
    <msub> 
     <mi>
       x 
     </mi> 
     <mn>
       0 
     </mn> 
    </msub> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     100^{\ {^\circ}}C:x_{0} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>Reading of thermometer at 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msup> 
     <mn>
       0 
     </mn> 
     <mrow> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
      <msup> 
       <mi></mi> 
       <mo>
         ∘ 
       </mo> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </msup> 
    <mi>
      C 
    </mi> 
    <mo>
      : 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        x 
      </mi> 
      <mn>
        0 
      </mn> 
     </msub> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     0^{\ {^\circ}}C:\frac{x_{0}}{3} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>To find: The temperature 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     T 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     T 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>, at which the thermometer reads 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mfrac> 
    <msub> 
     <mi>
       x 
     </mi> 
     <mn>
       0 
     </mn> 
    </msub> 
    <mn>
      2 
    </mn> 
   </mfrac> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{x_{0}}{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>.</p><p>As the thermometer is graduated according to a linear scale:</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mn>
        0 
      </mn> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mn>
        100 
      </mn> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mn>
        0 
      </mn> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mfrac> 
       <msub> 
        <mi>
          x 
        </mi> 
        <mn>
          0 
        </mn> 
       </msub> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </mfrac> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <msub> 
        <mi>
          x 
        </mi> 
        <mn>
          0 
        </mn> 
       </msub> 
       <mn>
         3 
       </mn> 
      </mfrac> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <msub> 
       <mi>
         x 
       </mi> 
       <mn>
         0 
       </mn> 
      </msub> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <msub> 
        <mi>
          x 
        </mi> 
        <mn>
          0 
        </mn> 
       </msub> 
       <mn>
         3 
       </mn> 
      </mfrac> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{T - 0}{100 - 0} = \frac{\frac{x_{0}}{2} - \frac{x_{0}}{3}}{x_{0} - \frac{x_{0}}{3}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      100 
    </mn> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mfrac> 
      <mfrac> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
       <mn>
         6 
       </mn> 
      </mfrac> 
      <mfrac> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
       <mn>
         3 
       </mn> 
      </mfrac> 
     </mfrac> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       100 
     </mn> 
     <mn>
       4 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msup> 
     <mn>
       25 
     </mn> 
     <mrow> 
      <mspace width="0.222em"></mspace> 
      <msup> 
       <mi></mi> 
       <mo>
         ∘ 
       </mo> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </msup> 
    <mi>
      C 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     T = 100 \times \left( \frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}} \right) = \frac{100}{4} = 25^{\ {^\circ}}C 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>A steel wire having a radius of 2.0 mm, carrying a load of 4 kg, is hanging from a ceiling. Given that g = 3.1 πms<sup>-2</sup>, what will be the tensile stress that would be developed in the wire?</p> </li></div></div>

<div><p>Given: Radius of steel wire is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      r 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      2.0 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     r = 2.0\text{\ }mm = 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mn>
      0.002 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     0.002\text{\ }m 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>load on steel wire is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      4 
    </mn> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      k 
    </mi> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     m = 4\text{\ }kg 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math>,</p><p>acceleration due to gravity is 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      3.1 
    </mn> 
    <mi>
      π 
    </mi> 
    <mfrac> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <msup> 
      <mi>
        s 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msup> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     g = 3.1\pi\frac{m}{s^{2}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>To find: Tensile stress in wire.</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      T 
    </mi> 
    <mi>
      e 
    </mi> 
    <mi>
      n 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      i 
    </mi> 
    <mi>
      l 
    </mi> 
    <mi>
      e 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      t 
    </mi> 
    <mi>
      r 
    </mi> 
    <mi>
      e 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mtext mathvariant="normal">
       Force 
     </mtext> 
     <mtext mathvariant="normal">
       Area 
     </mtext> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     Tensile\ stress = \frac{\text{Force}}{\text{Area}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <mn>
         4 
       </mn> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <mn>
         3.1 
       </mn> 
       <mi>
         π 
       </mi> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        π 
      </mi> 
      <msup> 
       <mrow> 
        <mo stretchy="true" form="prefix">
          ( 
        </mo> 
        <mn>
          2 
        </mn> 
        <mo>
          × 
        </mo> 
        <msup> 
         <mn>
           10 
         </mn> 
         <mrow> 
          <mo>
            − 
          </mo> 
          <mn>
            3 
          </mn> 
         </mrow> 
        </msup> 
        <mo stretchy="true" form="postfix">
          ) 
        </mo> 
       </mrow> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      3.1 
    </mn> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <msup> 
     <mn>
       10 
     </mn> 
     <mn>
       6 
     </mn> 
    </msup> 
    <mrow> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
     <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
     <mspace width="0.333em"></mspace> 
    </mrow> 
    <mi>
      N 
    </mi> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mrow> 
       <mspace width="0.333em"></mspace> 
       <mtext mathvariant="normal"></mtext> 
       <mspace width="0.333em"></mspace> 
      </mrow> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </mrow> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     = \frac{(4)(3.1\pi)}{\pi\left( 2 \times 10^{- 3} \right)^{2}} = 3.1 \times 10^{6}\text{\ }N{\text{\ }m}^{- 2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p> Two different wires having lengths L<sub>1</sub> and L<sub>2</sub> and respective temperature coefficient of linear expansion α<sub>1</sub> and α<sub>2</sub> are joined end-to-end. Then the effective temperature coefficient of linear expansion is</p> </li></div></div>

<div><p>Let the coefficient of linear expansion of two rods be 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <msub> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mn>
      1 
    </mn> 
   </msub> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha_{1} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> and 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <msub> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mn>
      2 
    </mn> 
   </msub> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha_{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> respectively.</p><p> <img src="http://test-master-question-data.s3.ap-south-1.amazonaws.com/questionImg/82c97690-2a1f-49ee-bc76-a83c91629f5c.jpg" style="width:1.64443in;height:0.36758in" alt=""> </p><p>For first rod,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       α 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        t 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha_{1} = \frac{\Delta L_{1}}{L_{1} \times \Delta t} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ∴ 
    </mo> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <msub> 
     <mi>
       L 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msub> 
     <mi>
       α 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <msub> 
     <mi>
       L 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      t 
    </mi> 
    <mi>
      … 
    </mi> 
    <mi>
      … 
    </mi> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       i 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \therefore\Delta L_{1} = \alpha_{1}L_{1}\Delta t\ldots\ldots(i) 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>For second rod,</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       α 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        t 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha_{2} = \frac{\Delta L_{2}}{L_{2} \times \Delta t} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      ∴ 
    </mo> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <msub> 
     <mi>
       L 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msub> 
     <mi>
       α 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <msub> 
     <mi>
       L 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <mi>
      t 
    </mi> 
    <mi>
      … 
    </mi> 
    <mi>
      … 
    </mi> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       i 
     </mi> 
     <mi>
       i 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \therefore\Delta L_{2} = \alpha_{2}L_{2}\Delta t\ldots\ldots(ii) 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>For the series combination of the two rods, the equivalent temperature coefficient of linear expansion is</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
      <mo>
        + 
      </mo> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <msub> 
        <mi>
          L 
        </mi> 
        <mn>
          1 
        </mn> 
       </msub> 
       <mo>
         + 
       </mo> 
       <msub> 
        <mi>
          L 
        </mi> 
        <mn>
          2 
        </mn> 
       </msub> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        t 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha = \frac{\Delta L_{1} + \Delta L_{2}}{\left( L_{1} + L_{2} \right) \times \Delta t} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Putting the values of 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <msub> 
     <mi>
       L 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Delta L_{1} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> and 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      Δ 
    </mi> 
    <msub> 
     <mi>
       L 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \Delta L_{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> from eqns. (i) and (ii), we have</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <msub> 
       <mi>
         α 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        t 
      </mi> 
      <mo>
        + 
      </mo> 
      <msub> 
       <mi>
         α 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        t 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <msub> 
        <mi>
          L 
        </mi> 
        <mn>
          1 
        </mn> 
       </msub> 
       <mo>
         + 
       </mo> 
       <msub> 
        <mi>
          L 
        </mi> 
        <mn>
          2 
        </mn> 
       </msub> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        t 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha = \frac{\alpha_{1}L_{1}\Delta t + \alpha_{2}L_{2}\Delta t}{\left( L_{1} + L_{2} \right) \times \Delta t} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      α 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
      <msub> 
       <mi>
         α 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
      <mo>
        + 
      </mo> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
      <msub> 
       <mi>
         α 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
      <mo>
        + 
      </mo> 
      <msub> 
       <mi>
         L 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \alpha = \frac{L_{1}\alpha_{1} + L_{2}\alpha_{2}}{L_{1} + L_{2}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>